Відомості про похідну

Похідна́ — основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Процес знаходження похідної функції називається диференціюва́нням. Зворотним до диференціювання є інтегрування — процес знаходження первісної.

Нехай в деякому околі точки x₀ визначена функція ƒ. Якщо ми візьмемо довільне число x в цьому околі, то приріст аргументу (позначається Δx) в цьому випадку визначається, як x − x₀, а приріст функції (Δy) — як ƒ(x) − ƒ(x₀). 

Тоді, якщо існує границя ${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$, то вона називається похідною функції ƒ в точці x₀.

Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.
Фізичний зміст похідної

Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості руху матеріальної точки. Похідна від миттєвої швидкості руху матеріальної точки дорівнює миттєвому прискоренню.

Геометричний зміст похідної

Значення похідної ${\displaystyle f'(x_{0})}$ функції ${\displaystyle f}$ у точці ${\displaystyle x_{0}}$ дорівнює значенню кутового коефіцієнта дотичної до кривої ${\displaystyle y=f(x)}$ у точці з абсцисою ${\displaystyle x_{0}}$.

Рівняння дотичної до кривої ${\displaystyle y=f(x)}$ у точці ${\displaystyle M(x_{0},y_{0})}$ має вигляд:

${\displaystyle y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\!.}$

y = ƒ'(x) = tg a